喜内の和算の業績は，主に友人・弟子が編集したもので 「久氏弧背術」（三角関数か？），「久氏三百解」，「久氏遺稿」など多数ある。 オイラー関数の公式を、オイラーの発見(1761)より早くに見つけていた， という話は，松田さん（千葉大学）の ホームページ で教わった。
将棋はアマ４段と伝えられ，特に詰将棋において数々の傑作を残している。 自身のまとめた作品集はなく，わずかに２つの筆写本が 「将棋妙案」，「橘仙貼璧」 という名で後世に伝えられている。 数学者らしい論理的な作品が多く，特に無限軌道手順（千日手）をいくつかの鍵を 見つけてほぐしてゆく 『智恵の輪』 と称される作品群は，久留島独自の理論構成による名作である。
（参考文献）門脇芳雄編『続・詰むや詰まざるや』東洋文庫３３５（平凡社）
碁については石の生死すら知らないのだが，目が二つなら生きで一つでは死かと，本因坊に聞くとその通りだと答えた。という話が書かれていました。また，数多くの数学の問題に混じって，
その夜帰ってから碁の詰物を作って，翌日本因坊に贈ったところ，それは本因坊の意に叶うものであった。
将棋向手前持馬有駒成不成変数という問題が出ていたことが紹介されているのですが，数学史の本なので「これは将棋の駒に関する変数の問題である」としか書かれていないのです。一体これは何を問う問題だったのでしょう？気になってしまいます。
オイラー関数とは，自然数 N が与えられたときに，1 から N までの自然数 のうち N と互いに素（共通の素因数を持たない）であるものの個数を与えるというものです。この値は，N の素因数分解がわかっていれば簡単に計算することが出来ます。すなわち，N = p^a.q^b.r^c...（pのa乗×qのb乗×ｒのｃ乗・・・）のときには，求める値は
N(1-1/p)(1-1/q)(1-1/r)... = N(p-1)(q-1)(r-1).../pqr...となります。すなわち，N に 各素因数から１を引いたものを全てかけて，各素因数の積で割って得られる値です。
原文は現代漢字で書き換えてあります。また，現代語訳はいい加減です。
今有分母三百六十，以盡分子，問其件数幾何
乃母子渡等数者不用之術曰，列三百六十為実，依独積法求約数，二，三，五，各減一，相乗得八，
分母三百六十，分子一，七，十一，十三此類ナリ
以三百六十乗之，所得以約数除之，合問。
（現代語訳）分母が３６０で，以下のような分子を持つ数の個数はいくつか？
分母と分子に共通の約数がない３６０の約数２，３，５を求め，それぞれから１を引いたものをかけると８が得られ， ((2-1)(3-1)(5-1)=8)
分母３６０で，分子１，７，１１，１３など
そこに３６０をかけ，約数で割れば，答である。
360(2-1)(3-1)(5-1)/2.3.5 = 96というもので，先に書いた公式通りのものです。
オイラー関数の重要性はここでは述べませんが，最も重要な性質として，
N に対するオイラー関数の値を X とおくと，N と互いに疎である自然数 M に 対して，M の X 乗を N で割ったときの余りは 1 である。というものがあります。このことを久留島喜内が知っていたのかどうか 興味が涌きますが，今となっては（少なくとも私には）わかりません。